1. 수 세기 원리
사물들의 수를 정확하게 세려면 다음과 같은 5가지 수 세기 원리를 이해해야 합니다. 첫째는 일대일 대응의 원리입니다. 이는 하나의 사물에 단지 하나의 수 단어가 할당된다는 원리로, 사물의 수를 셀 때, 어떤 사물도 건너뛰어서도 안 되고, 두 번 세어도 안 되고, 또 모든 사물을 빠짐없이 세어야 한다는 원리입니다. 둘째는 일정한 순서의 원리입니다. 이는 사물을 셀 때 수 단어들을 '하나, 둘, 셋, 넷'처럼 항상 일정한 순서로 사물에 할당해야 한다는 의미입니다. 즉 수 이름들의 순서에 관한 원리입니다. 셋째는 기수성의 원리입니다. 이는 그 집합에 속한 사물들 가운데 마지막 사물에 할당된 수가 그 집합의 사물 전체의 개수를 나타낸다는 원리입니다. 즉 사물을 셀 때, '하나, 둘, 셋, 넷'하고 세었으면 그 집합에 있는 사물의 수는 마지막 수를 의미하는 4개임을 이해하는 것입니다. 넷째는 추상성의 원리입니다. 이는 사건, 사물, 추상적 대상 등 어떤 대상이든지 그 종류에 상관없이 같은 원리로 수를 셀 수 있음을 의미합니다. 위에서 제시한 3가지 수 세기 원리는 수를 정확하게 세는 방법, 즉 어떻게 수를 세는지와 관련된 원리라면, 추상성의 원리는 세는 방법에 관한 것이 아니라 세는 대상과 관련된 원리입니다. 즉 사물을 세든, 동물을 세든, 그 대상이 무엇인지와는 관계없이 같은 원리로 수 세기가 이루어진다는 것을 이해하는 것입니다. Gelman과 Gallistel(1978)에 따르면, 4세 경이면 서로 이질적 물건을 마치 동질적 물건인 것처럼 저항 없이 숫자의 이름을 이들에게 적용할 수 있게 됨을 알 수 있습니다. 다섯째는 순서무관의 원리입니다. 이는 사물을 세는 순서에 관계없이 주어진 집합의 수는 일정하다는 원리입니다. 즉 물건을 셀 때 그 집합에 있는 사물을 빠짐없이 한 번만 센다면, 왼쪽이나 오른쪽 혹은 어떤 쪽에서 먼저 세든 수에는 상관없다는 원리입니다. 여러 연구에 따르면, 5세 정도의 유아는 이 원리를 아주 분명하게 이해하고, 3세 정도의 유아도 이 원리를 대강 짐작한다고 합니다. 보통 나이가 많은 아동이나 성인은 위에서 제시한 5가지 수 세기 원리를 모두 이해하고 수를 셀 때 실제 이 원리를 적용합니다. 그러나 한 번도 배운 적이 없는 이러한 수 세기 원리를 어린 아동은 어떻게 이해할 수 있게 되는 것일까? 이에 대해서는 크게 2가지 대립적인 관점이 있습니다. Gelman으로 대표되는 선원리이론과 이와는 반대 입장인 후원리이론이 그것입니다. 선원리이론은 태어나면서부터 이미 이런 수 원리를 가지고 있어 유아가 수를 바르게 셀 수 있다는 관점입니다. 즉 수 세기 원리를 생득적인 원리로 보는 관점입니다. 반면 후원리이론은, 여러 연구에서 나타난 사람이 수에 민감하게 반응하는 경향을 가지고 태어난다는 점에서 동의하지만, 태어날 때부터 수 세기 원리를 가지고 있다는 선원리이론을 반대하는 입장입니다. 이들에 따르면 유아는 처음에는 수 세기 원리를 모르는 상태에서 단순히 주변의 다른 사람들이 수를 세는 것을 보고 그들의 행동을 모방하면서 수를 세게 되지만, 수를 세는 경험 속에서 자신의 행동과 그 결과 사이의 관계를 관찰하게 되고 그 과정에서 수 세기의 원리를 점차 유추해 가게 된다는 관점입니다. 예를 들면, 처음에는 사물을 왼쪽 끝에서 세어 보기도 하고 한 번은 오른쪽에서 세어 보면서 점차 어느 쪽에서 세든 마지막 숫자가 같다는 것을 스스로 경험하면서 수를 세는 데 있어 순서는 별로 중요하지 않다는 순서무관의 원리를 점차 인식하게 된다는 것입니다. 결국 수를 세는 능력도 다른 인지능력처럼 Gelman이 주장한 생득적 요인과, Briars와 Siegler가 주장한 경험적 요인 간의 상호작용에 의해 결정될 것입니다. 그러나 2요소 중 어떤 요소가 더 중요하게 작용하는지, 어떤 시점에서 어떻게 상호작용 하는지는 추후 연구를 통해 계속 밝혀져야 할 부분으로 남아 있습니다.
2. 수 세기의 오류
유아의 경우 '말로 수 세기'와 '사물 수 세기'에서 모두 오류를 범하는 경향이 보입니다. '말로 수 세기'에서의 오류는 우리나라 유아의 경우 수 단어를 하나 혹은 두세 단어를 생략하거나, 수 단어를 반복하거나, 두 수 체계를 혼용하는 경우 등입니다. '사물 수 세기'에서 유아가 가장 많이 하는 오류인 '이름 붙이기'와 '나누기'에서 발생한다고 합니다. 이름 붙이기는 세어야 할 물건에 수의 이름을 붙이는 과정이고, 나누기는 이미 센 사물과 세지 않은 사물을 나누는 과정입니다. Gelman과 Gallistel(1978)에 따르면, 유아가 가장 많이 하는 오류는 두 과정에서 실수를 동시에 한다는 것입니다. 이름 붙이기는 오류는 하나의 사물에 하나의 수 이름을 붙여야 하는데 2개를 붙인다거나, 하나의 이름을 음절에 따라 나누어서 2개의 사물에 붙인다거나, 실제 사물이 없는데도 수 이름을 할당하는 것 등입니다. 나누기 오류는 5개의 사과를 셀 때 모두 센 후에도 계속해서 센다거나, 이미 센 사물을 다시 세는 것 등입니다. 이러한 다양한 오류는 유아가 수 이름 체계와 수 세기 원리를 더 잘 이해하게 되고, 수를 세는 과정에서 범하는 오류에 대해 사람들의 피드백을 받으면서 점차 감소하게 됩니다.
3. 수 세기 전략
수 세기 능력이 점차 발달하면서 유아들은 다양한 수 세기 전략을 활용하기 시작하는데, 이는 일상적 경험을 통해 획득되는 비형식적 지식이라 볼 수 있습니다. 특히 덧셈 상황에서 유아들이 사용하는 수 세기 전략은 다음과 같이 다양하며 발달적 경향을 볼 수 있습니다. 첫째, 전부 세기 전략입니다. 어린 유아의 경우 두 사물의 집합을 더하기 할 때 보통은 주어진 사물을 모두 세어서 사물의 합을 구합니다. 이를 '전부 세기'라고 하고, 초기에 나타나는 가장 일반적 전략입니다. 둘째, 손가락 세기 전략입니다. 구체적 사물 없이 더하기를 할 때 유아들은 구체적 사물을 대신하여 주로 손가락을 이용하기도 하는데, 이를 '손가락 세기'라고 합니다. 이 전략은 완전한 형태의 정신적 수 세기 전략으로 전환하는 과도기에 나타나며 일상생활에서 유아들의 덧셈 문제해결에 주요한 수단으로 사용됩니다. 셋째, 계속 세기 전략입니다. 두 사물의 집합을 더하기 할 때 더해지는 수를 처음 수의 다음부터 세어서 해결하는 수 세기 전략입니다. 예를 들어 5+3인 경우 더해지는 수인 3을 처음 수 5 다음부터 세어 답을 내는 것이며, 큰 수에서 시작하여 작은 수를 세는 경우가 많습니다. '계속 세기'전략을 사용할 경우 더해지는 수의 양을 기억해야 하는 인지적 노력이 필요합니다. 즉 5+3의 경우 다섯부터 계속 세기를 할 때 언제 멈추어야 하는지를 알기 위해서 더해지는 수 3을 기억하고 있어야 한다는 것입니다. 이때 손가락을 활용하는 경우가 많습니다. 이처럼 유아는 일상생활에서 간단한 수 연산 상황에서 다양한 수 세기 전략을 사용하며 발달시켜 나갑니다.
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